Σε μια κατσαρόλα ζεσταίνουμε το γάλα μέχρι να γίνει χλιαρό. Σε μπολ βάζουμε τη μαγιά μπύρας και ρίχνουμε από πάνω το γάλα, ανακατεύοντας για αν διαλυθεί η μαγιά.
Στον κάδο του μίξερ ρίχνουμε το αλεύρι, τη ζάχαρη, το αλάτι, το μαχλέπι, τα βγά και το μείγμα της μαγιάς και με τον γάντζο του μίξερ ζυμώνουμε έως ότου το μείγμα ομογενοποιηθεί καλά. Σταδιακά ρίχνουμε το βούτυρο κρύο, συνεχίζοντας το χτύπημα για 25-30 λεπτά, ώσπου το ζυμάρι να ξεκολλάει από τα τοιχώματα. Ρίχνουμε λίγες σταγόνες μαστιχέλαιο και ανακατεύουμε.
Βάζουμε το ζυμάρι σε μπολ και το αφήνουμε σε ζεστό περιβάλλον, σκεπασμένο με πετσέτα για 30-60 λεπτά, μέχρι να διπλασιαστεί σε όγκο. Στη συνέχεια, ζυμώνουμε με τα χέρια μας και χωρίζουμε στα δύο για να φτιάξουμε δύο τσουρέκια. Μοιράζουμε το καθένα σε τρία ίσα μέρη. Με αυτά πλάθουμε 3 μπαστούνια και φτιάνουμε μία πλεξούδα. Αν κολλάει στα χέρια μας το ζυμάρι, ρίχνουμε λίγο αλεύρι. Αφήνουμε σε ζεστό περιβάλλον να φουσκώσουν και να διπλασιάσουν τον όγκο τους. Αραιώνουμε το αβγό σε λίγο νερό ή γάλα και με αυτό αλείφουμε την πλεξούδα.
Πασπαλίζουμε με το αμύγδαλο φιλέ και ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο στους 170οC για 45 λεπτά περίπου, μέχρι το τσουρέκι να ροδίσει.
